黄老师聊数学(49)利用积分图解思想求解的高考压轴题

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楼主 2019-10-08 16:26:55
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二十多年前高中都不学微积分的,现在的高中理科,微分和积分都要学,而且高考压轴题往往会涉及到。利用到求导微分的压轴题高考必考,比较常见,但是涉及到积分的压轴题相对比较少见,上面就是一道高考题,需要利用积分的原理来证明不等式,相对较难。


上面这道2012年天津理科的高考题,如果纯粹用代数的解法,就是如下,一步步推导下去,不等式得证。



上面的证明过程比较枯燥,一般人比较难理解,缺乏直观性。这里对上图的(1)(2)两个式子加以解释,利用积分图解的思想,可以很轻松地理解上述证明过程中代数式子的含义,看穿问题的本质。


(1)式的含义就是:中间积分项结果为图中红色阴影面积,其大小刚好在两个矩形面积大小之间。



(2)式的图解说明见下面图片文字。



我们在上面的方法上,可以得到一些推论,比如,构造标准的反比例函数y=1/x,利用n个宽度为1的矩形面积夹逼,可以得到如下不等式。



看,该不等式直接就是下面习题要证明的。



利用积分的几何意义,结合反比例函数图像进一步推导,也可以得到下面的结论,这个结论就是2010年湖北省理科数学高考压轴题!



我建议准备高考的理科生,上述几个例子记一下,因为涉及到了积分和不等式,挺重要的!

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